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domingo, 19 de março de 2017

Problemas de unicidade

Equações vectoriais da recta já estão no ensino secundário há muitos, mas mesmo muitos anos. Todos os anos vejo enunciados de exercícios e problemas com gralhas de português. E já dou um exemplo:
Exercício
Considere no referencial o.n $xOy$ os pontos $A(1,-2)$ e $B(-2,1)$.
    a) Indique a equação vectorial da recta $AB$.
    b) Indique as equações paramétricas da recta $AB$.
E depois de eu ter escrito a negrito a na alínea a) e as na alínea b), o leitor com alguns conhecimentos de Matemática já terá percebido o problema! Nenhuma das questões tem resposta única!
De facto para a alínea a) são admissíveis, por exemplo, as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*} Isto porque na verdade, qualquer vector de declive $-1$ pode ser usado!
Mas o mesmo se passa com o ponto utilizado!
Uma recta tem infinitos pontos!
Qualquer um dos pontos da recta pode ser utilizado, não estamos sujeitos apenas aos pontos $A$ e $B$!
Qualquer ponto da recta, ou seja, qualquer ponto gerado pela fórmula \[A+\lambda \vect{AB}; \lambda \in \R\] também pode ser utilizado!
Assim sendo, são válidas também as respostas:
\begin{eqnarray*} {(x,y)}&{=}&{(-2,1)+k(-3,3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(-1,0)+k(3,-3); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(0,-1)+k(-1,1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(1,-2)+k(1,-1); k\in\R}\\ {(x,y)}&{=}&{(2,-3)+k(-\pi,\pi); k\in\R}\\ {}&{\vdots}&{} \end{eqnarray*}
E a alínea b) sofre do mesmo mal, versão pior: É impossível listar todas...
Qualquer equação da forma \[(x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2),k\in \R \] consegue ser reescrita na forma de equações paramétricas: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+kv_1} \\ {y = b+kv_2} \end{array};k \in \R} \right. \] E só por isso já temos uma infinidade de equações paramétricas.
Mas o caso consegue ser mais engraçado!
É que, por exemplo, equações do tipo abaixo, também são equações paramétricas da mesma recta!
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = a+(\tan \theta \times v_1)} \\ {y = b+(\tan \theta \times v_2)} \end{array};\theta \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[} \right. \] E aqui ainda temos a liberdade de deslocar o intervalo por um múltiplo inteiro de $\pi$!
Em vez de colocar a função tangente poderia colocar outra função de um parâmetro que tenha como contradomínio todo o conjunto dos reais, e certamente, haverão mais formas de obter equações paramétricas de rectas...
E quem diz estas, diz muitas mais...
É verdade que estes enunciados, que aparecem em testes, fichas de exercícios, sebentas, livros e etc... não impedem que se faça uma resolução correcta, e se calhar por isso continuam a ser comuns.
Mas estão incorrectos, no primeiro caso por sugerirem a unicidade de soluções, e no segundo, por existirem infinitos conjuntos de paramétricas e ser impossível listar todos!

PS: o autor está-se nas tintas para o acordo ortográfico de 1990! Prendam-no por não o utilizar!

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